試題內(nèi)容

如圖，△ABC在平面直角坐標(biāo)系中，AB=AC，A(0，2√2)，C(1，0)，D為射線AO上一點(diǎn)，一動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，運(yùn)動(dòng)路徑為A→D→C，點(diǎn)P在AD上的運(yùn)動(dòng)速度是在CD上的3倍，要使整個(gè)過程運(yùn)動(dòng)時(shí)間最少，求點(diǎn)D的坐標(biāo).

(相關(guān)資料圖)

解法分析

作DE⊥AB于點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)P在ED、CD上的運(yùn)動(dòng)速度相等.

在三角形ABO中，AO=2√2，OB=OC=1，

所以AB=3，sin∠BAO=1/3，所以AD=3ED，

因?yàn)辄c(diǎn)P在AD上的運(yùn)動(dòng)速度是在ED上的3倍,

所以點(diǎn)P在ED、AD上的運(yùn)動(dòng)時(shí)間相等，

所以路徑ADC的運(yùn)動(dòng)時(shí)間等于路徑EDC的運(yùn)動(dòng)時(shí)間.

當(dāng)C、D、E三點(diǎn)共線(即CE⊥AB于點(diǎn)E)時(shí)，運(yùn)動(dòng)路程最短，同時(shí)運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短.

根據(jù)等面積法：AB×CE=BC×AO，解得：CE=(4√2)/3，

在直角三角形AEC中，利用勾股定理可得：AE=7/3，

因?yàn)锳D=3ED，可設(shè)ED=x，AD=3x，

在直角三角形AED中，利用勾股定理可得：x=(7√2)/12，

所以yD=OA-3x=√2/4，即點(diǎn)D的坐標(biāo)為：(0，√2/4).

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